수치상대론 A to Z - 2. Einstein Equation (1) 물리이야기

지난글 수치상대론 A to Z - 1. 소개 에서 간략하게 이 시리즈의 목적과 어떠한 방향으로 전개할 것인지 논의하였고, 간략한 수치상대론에 대한 소개를 하였다. 이번 글에서는 본격적으로 아인슈타인 방정식에 대해 이야기 해보려 한다.

이번글에서는 아인슈타인 방정식을 소개하고, 각항의 모습들을 살펴보려한다.

시작하기 전에, 이 글에서는 geometrical unit을 따르고 (-,+,+,+) metric 컨벤션을 따른다. 또한 그리스 첨자는 spacetime을 {0,1,2,3}, 0는 시간을 가리킨다. 라틴 알파벳은 space component를 따르게 된다.

일단, 아인슈타인 방정식은:


위와 같은 형태로 나타날 수 있다. 여기서 좌변항은 아인슈타인 텐서로 


위와같은 형태가 되고, Ricci 텐서는 아래와 같이 표현할 수 있다. (혹은 리치곡률이라고도 한다.)


리치텐서는 Christoffel symbol로 표현이 되므로 리치텐서도 메트릭의 형태로 바꿀수 있음을 나타낸다. 즉, 아인슈타인 방정식의 좌변은 순수히 메트릭과 그 미분들의 대수로 표현이 가능하며, 이 텐서가 의도하는 것은 spacetime의 곡률과 연관이 있다고 할 수 있다. 

우변은 에너지-운동량 텐서로(혹은 stress-energy tensor) energy density, momentum density, momentum flux를 묘사하는데, 어떠한 matter를 다루는가에 따라 다른 형태로 표현될수 있다. 예를들어 relativistic MHD의 perfect fluid를 고려하면,


 
위 식에서 보면 우리는 밀도, 압력, 속도 그리고 전자기장에 포함된 것을 볼 수 있다. 즉 우변항이 마치 중력의 source역할을 하게 되는 것이다. 이는 질량이 있는 물체가 시공간의 곡률을 만든다라는 이야기와 연결이 된다.

만약 우리가 진공을 고려하게 된다면, 아인슈타인 방정식은 훨씬 간단히 표현되는데,


이는 아래와도 동등하다


여기서 중요한 점은 이 방정식이 spacetime이 평평하다는 뜻하지는 않는다! (물론 flat Minkowski space 가 가장 간단한 trivial solution이긴 하다). 우리는 어떠한 물체의 중력장이 그 물체를 넘어 확장 될수 있음을 알고 있다. 이것이 의미하는 바는 질량이 있는 물체 근처의 empty space 에서 시공간의 곡률이 0이 아님을 뜻한다. 또한 진공 아인슈타인 방정식은 중요한 점을 묘사하는데, 이 방정식은 중력파가 어떻게 시공간을 통해 전파되는지 알려준다. (마치 맥스웰방정식을 이용해 전자기파를 설명하는 것과 같다.). 다른말로 중력파를 예측한 것이다.

진공 아인슈타인 방정식의 해의 유명한 예는 Schwarzschild solution과 Kerr solution이 있고, 이는 각각 다른 형태의 블랙홀을 묘사한다.

위에서 보았듯이 아인슈타인 방정식은 많은 항들이 있는 연립 미분방정식이다 (심지어 비선형이다!). 따라서 아인슈타인 본인도 이 방정식의 해를 찾을 수 없을거라 생각됬는데 놀랍게도 Schwarzschild가 이와 관련된 논문이 출간된지 1년도 안되서 해를 찾게 되는데 이는 다음에 좀더 자세히 다뤄볼까 한다.


다음글에서는 이 vacuum equation의 유명한 해 Schwarzschild solution을 살펴보고 numerical relativity로 가기위한 준비를 할 것이다. 


수치상대론 A to Z - 1. 소개 물리이야기

기록물 형태로 글이 작성되어 글의 말투가 경어체가 아닌점을 이해해 주시기 바랍니다.

이 시리즈의 목적은 수치상대론을 학부 상대론/미분기하 수준의 학습이 된 상태의 사람들도 쫒아갈 수 있는 것이 목적이다. 필자가 공부하면서 (지금도 공부하고 있는) 이해가 안되었던 부분, 많은 자료들에서 자세히 다루지 않고 넘어간 디테일한 계산들을 충분히 쫗아갈 예정이다. (내 개인적인 공부를 저장하려는 목적이 훨씬 크다고 할 수 있다.). 이 시리즈에서 다룰이야기는:

1. Einstein Equation
기본적인 소개와 각항들이 의미하는 점, Ricci tensor의 형태와 왜 이것이 풀기 어려운지에 대한 간략한 소개. 간단한 솔루션을 구하는 방법등등..

2. Formalisms in the Numerical Relativity
a) Geometry of hypersurface/foliation
a.1) Choice of foliation and spatial coordinate
a.2) Asymptotic flatness
b) 3+1 formalism
b.1) ADM formalism
b.2) BSSN formalism
b.3) CCZ4 formalism (가능하다면..)
c) Conformal decomposition
d) Initial data problem
e) Time evolution scheme (b section 과 연결이 된다.)

이글을 쓰려고 하는 목적이 아마 이 부분일 것이다. 꽤나 많은 수학적내용들이 들어가 있고, 때론 지루한 반복 계산을 해야하지만 정리하고 쫗아가게 되면 기초적인 수치상대론의 툴을 익히는데 큰 문제가 없을 것이라 생각된다.

3. Application (여기까지 오면 성공이다..)
Binary systems, Gravitational Collapse, Alternative theories of the gravity등등 

이시리즈에서 다루지 않은 내용들은:
1. Astronomy 
중성자별의 특성이나 Equations of State 등등 천체물리학적인 부분은 배재하고 좀더 Formalism에 집중하려고 한다
2. Fluid
Relativistic Magnetohydrodynamics(MHD)도 굉장이 넓은 토픽이지만, 이 시리즈에선 Einstein Equation에만 집중하고자 한다
2. Basic Math/Relativity
특수/일반상대론의 개념과 물리에서 가지는 의미등등은 훨씬 좋은 서적/강의 등이 많기 때문에 자세히 다루진 않을 것이다. (또한 이글에 상대론이 틀렸느니 어쩌니 하는 모든 댓글은 전부삭제/차단할 예정이다. 상대론의 옳고 그름을 논의할 의사가 전혀 없고 본인의 발견이 그리 대단하다면, 여기 말고 훨씬 공신력있는 기관에 문의하길 바란다.)
또한, 기초적인 수학들 예를 들어 텐서와 관련된 간단한 계산들은 넘어갈 생각이다.

3. Numerical Method
Finite difference/Volume, Discontinuous Galerkin, Time integration, WENO, CENO, MP5 등등 많은 수치적인 방법들은 넘어가고자 한다.

대충 이정도가 이 시리즈의 큰 줄기라 할 수 있을 것이다. 본인도 아직 공부하는 중이고 (2년차 이니 솔직히 저기 위에 있는거 다 이해했다는건...) 이 글을 쓰고 정리하면서 이해가 더 깊어지려는 노력도 있다. 아웃라인과 다르게 흘러갈 수 도 있고 언제 끝날지는 모르나 (넉넉하게 1년 반정도 생각중이다.) 정리로서 혹은 참고로서의 역할은 충분히 하리라 생각한다.

시리즈의 소개는 이정도 이고, 이체 수치상대론(Numerical Relativity)의 소개를 간략하게 해보면, 수치상대론이란 수치해석적인 방법들을 이용하여 상대론문제들 특히 아인슈타인 방정식을 푸는 것이 목적이다. 다음글에서 소개될 아인슈타인의 방정식은 강한 중력장이 개입되는 문제들 예를들어 블랙홀, 초신성, 중성자별의 충돌과 천제물리학적 현상들을 깊게이해기 위해서 필요한 방정식이다.

안타깝게도 몇몇 특수한 경우를 제외하면, 아인슈타인 방정식의 해석적인 해는 거의 불가능하다. 따라서 이를 풀기위하여 수치해석적인 방법들과 아인슈타인 방정식을 다시한번 잘 살펴보아야 한다. 슈퍼컴퓨터가 없던 혹은 지금과 같은 소스가 없던 시절의 중력연구는 어떠한 좌표를 이용할 것인지 다른 종류의 메트릭을 사용하고 대칭들을 고려하여 아인슈타인 방정식의 해를 찾아가는 과정이었다. 하지만, 요즘 컴퓨팅 기술의 발전과 용량의 증가로 이러한 문제를 수치적으로 접근하여 시뮬레이션을 하는 것이 가능해 졌다.

수치상대로은 1970년대에 본격적으로 시작되어, 올해 중력파 검출에 이용된 쌍블랙홀의 충돌 (Binary black hole merger) 현상의 템플릿을 제공하였다. 또한 중성자별, 백색왜성등에도 이용하며, 중력수축이나 다른 현상들에도 이러한 테크닉들이 널리 이용이 되고 있다. 따라서 앞으로의 많은 천체물리적인 연구들은 이러한 수치상대론적인 방법들을 이용하여 많이 시뮬레이션이 될것이고, 이론적인 발전자체가 중력에 대한 근원적인 이해를 도울 것이라 전망된다.

다음글에서는 아인슈타인 방정식을 살펴보고, 어떠한 형식으로 수치상대론이 적용되는지 그 시작을 알아볼까 한다.

160421-그동안 느낀점 물리이야기

한동안 블로그에 소홀하여 업데이트가 거의 없었는데, 그냥 일기형식으로 그동안의 연구 느낌을 정리하고 싶다. 

현재 내 박사토픽의 큰 줄기는 numerical relativity 이다. 특히 binary compact merger를 연구하고 있는데, 올해 2월 LIGO에서 중력파 검출소식이 나왔고, 이는 모든 수치상대론 그룹들이 흥분한 사실이다. (특히 SXS collaboration팀).

이 중력파의 검출로 인해 우리는 우주를 이해하는 새로운 툴을 얻었고, 이번 binary blackhole merger 관측뿐만아니라 다른 binary system혹은 supernovae등등 다양한 astrophysical 연구들이 다양해 질것이라 생각이 든다.(이번 APS 미팅은 약 반정도의 talk이 이와 관련되있을 정도였으니..)

하여, 현재 나는 무엇을 하고 있는가, 나는 어떠한 아이디어를 가지고 접근해야 하는 고민들을 하였는데, 아직 아는것이 일천하여 결국 내 흥미위주와 정말 rough한 아이디어 들만 나온다. 최근들어 관심있어 하는 주제는,

1. Supermassive system들과 EM radiation

2. Numerical AdS/CFT correspondence.

3. Initial data for various relativistic fluid.

4. Critical collapse with Teukolsky wave.

대충 이정도 이다. 그중 특히 2번이 정말 흥미로운데 이미 말다세나가 97년 논문으로 엄청난 반향을 일으켰던 저 아이디어가 우리가 상대론적 유체나 아인슈타인 방정식 문제를 풀때, 특히 수치적으로 풀때 응용을 할 수 있다라는 점이 매우 흥미롭다. 한가지 안타까운 점은 아직 저 부분과 연관되어 많은 논문이 없어서 공부할 참고자료가 부족하다는 것.

또한 initial data 와 관련되어 지도교수와 이야기를 나누었는데, 아마 4번이 sub-project격으로 설명을 하려고 노력할 것이다. 만약 의미있는 방법을 찾는다면 big deal이 되겠지만..... Thomas Baugarte와 이야기를 나누어서 gravitational collapse에 관하여 아주 약간의 힌트를 얻었는데 실제 코드화하고 결과를 뽑는것은 별개의 문제라...

나름 물리학은 한다라고 이야기한지가 꽤 시간이 흘렀지만, 아직도 아는게 너무 없는거 같다.. 이래서 박사나 받을련지...

TA의 생활 일상

블로그를 너무 방치해 두는거 같아서 이제 생각나는대로 일기라도 써야 겠다. 그러기 위해 이 카테고리를 만들기도 했고....

2012년 미국으로 건너와서 졸업하고, 그 후 대학원 생활한지도 3학기 째고, Applied math를 해보니 역시 나는 physics가 더 어울린다는 생각이 들어 다시 physics Ph. D 로 가기위해 대학원 지원 준비중이다.

아마 대부분의 이공계 대학원생들은 초년차에 TA를 하게 될텐데, TA를 하면 여러가지 업무를 해야된다. Lab, recitation, grading 등등. 뭐 지금은 math program에 있다보니 내가 이번학기 포함해서 3학기동안 담당해본 과목도 무척 많고(낮은 레벨은 College Algebra 부터 높게는 Advanced differential equation까지) 그런데 공통적으로 느끼는 감정은 그 모든 TA의 일중에 개인적으로 가장 힘든건 역시 proctoring이다. (지루하고 분위기 무겁고...)

학부때나 그럴때는 몰랐는데, 이게 수업이라는 것이 수강하는 학생들로 힘들지만 그것을 준비하고 해야되는 instructor나 TA들도 만만찮은 노력이 든다. 

특히 calculus같은 과목은 모든 학생들이 듣기 때문에 시험을 보는 시간이 무척이른 아침이나 늦은 밤이 되는 경우가 많아서 시험감독을 보는데 꽤나 힘들다...(뭐 물론 그렇다고 다른게 좋다는건 아니지만..)

무튼 시험감독 보는게 제일 까탈시럽다 :-)

근황? 잡담? 그냥....

굉장히 오랜만에 글을 남기네요.

그대로 간간히 이글루스 블로그에 들어와 다른분들 블로그도 보고 그러긴합니다만(댓글도 남기구요), 바쁘고 솔직히 귀찮어진 핑계로 엄청 소홀히 방치를 해놨네요.
원래는 물리관련 글도 좀 올리고 공부한거도 올리고 그러려고 했는데, 이거 대학원 생활 시작하니 바빠서원..

2012년 1월에 군제대후 미국으로 방문학생프로그램으로 건너와 운이 닿아서 이쪽학교 학위도 받고, 대학원생활도 시작했네요. 햇수로 건너온지 벌써 3년이 됬습니다. 대학원 생활 시작한지는 딱 1년이 되었네요. 그동안 참 많은 일들이 있었는데요.

1. 대학원 전공의 바뀜

뭐 아시는 분은 아시겠지만(모르시는분이 훠어얼씬 더 많겠지만) 전 물리전공자 였고, 미국에 와서도 학부학위를 물리도 받았는데 현재 대학원 과정은 Applied Math를 하고 있네요. 근데 수학과 느낌은 안나는게, 현 제 지도교수님과 하는 프로젝트가 물리와 관련된거고, 같이 일하는 다른학교 교수님은 물리과 교수님이라 물리학 연구만 하고 있어서.. 수학과 대학원생인데 물리연구를 더 많이 하고 있습니다..
(심지어 APS April 2013, 2014에 가서 presentation도 했죠)

그래서 그런지 학부전공과 다름에 크게 위화감이 느껴지진 않고 오히려 Mathematician과 Physicist의 리서치가 어떻게 다른지 정말 몸으로 느끼고 있습니다.
(학회 발표 스타일 차이도 어마어마 하더라구요)

2. 수학전공 대학원생활

학부때 수학과 전공자만큼은 아니지만, 어느정도 수학과목 들었었고, 미국에 건너와서 실해석학같은 과목을 흥미삼아 들어서 수학과에서 겨우겨우 살아남을 수 있을정도의 수학지식은 있었습니다. 그래도 대학원 과목 1년동안 공부를 해보니 확실히 기초가 딸려서 꽤나 힘들었습니다. Measure theory, Topology, Functional Analysis같은 과목들은 꽤나 힘들었어요.. Numerical Analysis, Statistics 과목은 상대적으로 괜찮았지만 그래도 코스웍이 따라가느라 좀......

그래서 다음학기는 물리과 과목 들으려구요..(필수로 들어야 되는 과목은 다 들었습니다!!!)

3. 미래...

뭐 위에서 내린 결론처럼, 저에겐 물리가 더 적성에 맞는것같습니다. 현 Applied math 특히 제 토픽은 Time-decomposition method and space-time finite element 와 같은 numeric method들이 많은 physics problem 에 applicable하고, 실상 수학자들이 발명해놓은 이 툴들이 가만히 살펴보면 굉장히 물리적은 툴이라서 제 짧은 견해로는 굉장히 흥미로운 Research Tool이 될수있을거 같습니다. 지금 연구하고 있는주제도 Astrophysics분야니까요.

그래서 내년 가을학기 Physics Ph.D program 지원 준비중입니다.(수학과는 Master 과정으로 끝내려고 합니다..)

나름 미국에 와서 아둥바둥 지낸거 같은데 많은 것이 바뀌었고 나름 공부도 많이 했고, 논문도 1저자로 Publish 되었고, 학회도 많이 참석하여 이제 나름 대학원생의 느낌(?)이 나네요..

당장 이번 수요일날 석사논문자격시험 보는데.. 뻘글이나 남기네요..

P.S.) 요즘 QFT 공부중인데 Gauge fixing part가 정말 흥미롭더라구요..(물론 미친듯한 계산들의 압박이...)

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